Álgebras

4. Álgebras

1 - Considere o conjunto de funções do tipo \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) e denotado por \(\mathcal{F}\) dotado de um produto \((fg) = f g\) (a multiplicação convencional), onde \(f,g \in \mathcal{F}\), formam uma álgebra.

Solução:

Observamos que o produto sde duas funções é também uma funcão, portanto o produto é um mapa \(\mathcal{F} \times \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}\).

Verificamos as leis distributivas usando \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\) e \(f,g,h \in \mathcal{F}\):

\[\begin{split}\begin{align*} f(\alpha g+\beta h) &= (f \alpha g + f \beta h)\\ &= (\alpha fg + \beta fh)\\ \text{e}\\ (\alpha g+\beta h)f &= (\alpha gf + \beta hf).\\ \end{align*}\end{split}\]

As leis são obedecidas, pois a multiplicação de escalares por funções é comutativa.

Por fim definimos o “vetor zero” como a função \(o \in \mathcal{F}\) definida por \((x) \mapsto (0)\) e o escalar zero como \(0 \in \mathbb{R}\). Verificamos que

\[\begin{split}of = (0f)f = 0(ff) = o \\ fo = f(0f) = 0ff = o, \end{split}\]

ou seja, o produto de uma função com a \(o\) sempre resulta em \(o\).

Sendo atendidas todas as exigências, vemos que esta construção forma uma álgebra.


2 - Sejam \(f,g \in \mathcal{F}\) definidas respectivamente por \((x) \mapsto (x^{2})\) e \((x) \mapsto (x+1)\). Mostre que o mapa \(\frac{d}{dx}: \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}\) é uma derivação na álgebra \(\mathcal{F}\). Cálcule sua ação sobre \((fg)\).

Solução:

Esse mapa é uma derivação nesta álgebra, pois atende a regra de Leibniz:

\[\frac{d}{dx}(fg) = \frac{df}{dx}g + f\frac{dg}{dx}\]

resultando em:

\[\begin{split}\begin{align*} \frac{d}{dx}(fg) =& \frac{d}{dx}(x^{2}(x+1))\\ &= \left(\frac{d}{dx} x^{2}\right)(x+1) + x^{2} \left(\frac{d}{dx}(x+1)\right)\\ &= (2x^{2}+2x) + (x^{2})\\ &= 3x^{2} +2x. \end{align*}\end{split}\]

3 - Considere a álgebra formada pelo conjunto de matrizes quadradas \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) e pelo produto de matrizes. Mostre o determinante \(det: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}\) é um homomorfismo desta álgebra.

Solução:

Dadas duas matrizes \(A,B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) o determinante respeita a regra

\(det(AB) = det(A)det(B)\)

logo o determinante é um homomorfismo dest álgebra.


4 - Construa a derivação do homomorfismo do problema anterior usando o mapa \(\frac{d}{dx}: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), sendo que os elementos das matrizes que compõem \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) são funções de \(x\).

Solução:
\[\begin{split}\begin{align*} \frac{d}{dx}(AB) =& \frac{d}{dx}(A)det(B) + det(A)\frac{d}{dx}(B)\\ \end{align*}\end{split}\]

onde os termos \(det(B)\) e \(det(A)\) são escalares multiplicando as matrizes resultantes de \(\frac{d}{dx}(A)\) e \(\frac{d}{dx}(B)\) Respectivamente.


5 - Sejam \(A,B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) definidas por

\[\begin{split}A = \begin{pmatrix} \cos{x}& -r \sin{x}\\ \sin{x}& r \cos{x}\\ \end{pmatrix}\ \ \ B = \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& r^{2}\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

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