Topologia

5. Topologia

1 - A distância de Minskowski, que é uma generalização de muitas métricas famosas, é também conhecida como distância \(L^{p}\) e pode ser definida como:

\[d(x,y)= \left( \sum_{i=1}^{n} |x_{i}-y_{i}|^{p} \right)^{\frac{1}{p}},\]

onde \(x,y \in \mathbb{R}^{n}\) e \(p\) é um inteiro. Para \(p\) igual a \(1\), \(2\) e \(\infty\), essa distância se reduz à distâncias Manhattan (\(L^{1}\)), Euclidiana (\(L^{2}\)) e Chebyshev (\(L^{\infty}\)), respectivamente. Mostre que para \(p=0.5\) a distância de Minkowski não é uma métrica (isso é válido para qualquer \(p<1\)).

Solução:

Sejam os pontos do \(\mathbb{R}^{2}\): \(x=(0,0)\), \(y=(0,1)\) e \(z=(1,1)\). Para \(p=0.5\) temos

\[L^{\frac{1}{2}} \equiv d(x,y) = \left( \sum_{i=1}^{2} |x_{i}-y_{i}|^{\frac{1}{2}} \right)^{2}.\]

Verificando a desigualdade triangular, \(d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)\), temos uma violação:

\[4 \le 1 + 1.\]

Logo, a distância \(L^{\frac{1}{2}}\) não é uma métrica.


2 - Seja \(A\) qualquer conjunto. Mostre que a métrica discreta

\[\begin{split} d(x,y) = \left\{\begin{matrix} 0,& \text{se } x = y \\ 1,& \text{se } x \ne y \\ \end{matrix}\right.\end{split}\]

é uma métrica em \(A\).

Solução:

Sejam \(x,y,z \in A\). Como \(x=y\) implica em \(y=x\), a simetria é verdadeira, \(d(x,y)=d(y,x)\). Como \(d\) só pode assumir os valores \(0\) ou \(1\), \(d(x,y) \ge 0\). Para a desigualdade triangular temos a seguintes possibilidades:

\[\begin{split}\begin{matrix} x \ne y \ne z \implies 1 \le 1+1;\\ x \ne y = z \implies 1 \le 1+0;\\ x = z \ne z \implies 0 \le 1+1\\ x = y = z \implies 0 \le 0+0. \end{matrix}\end{split}\]

Logo, a métrica discreta é uma métrica.


3 - A distância de Hausdorff é uma medida que quantifica quão longe dois subconjuntos de um espaço métrico estão um do outro. Mais formalmente, dada a métrica \( d \) em um espaço métrico \((X, d)\) e dois subconjuntos \(A\) e \(B\) de \(X\), a distância de Hausdorff \(d_{H}(A, B)\) é definida como:

\[ d_{H}(A, B) = \max \left\{ \sup_{a \in A} \inf_{b \in B} d(a, b), \sup_{b \in B} \inf_{a \in A} d(b, a) \right\}, \]

onde

\[\sup_{a \in A} \inf_{b \in B} d(a, b)\]

significa que para cada ponto \( a \) em \(A\), calculamos a menor distância até qualquer ponto em \(B\) (isto é, a distância de \(a\) ao ponto de \(B\) mais próximo). Em seguida, tomamos o maior valor dessas menores distâncias para todos os pontos de \(A\).

A distância de Hausdorff \(d_{H}(A, B)\) é, portanto, o máximo entre essas duas quantidades. Ela representa a maior “distância mínima” que você deve percorrer para cobrir completamente um dos conjuntos a partir do outro. Se a distância de Hausdorff entre \(A\) e \(B\) é pequena, isso significa que os conjuntos \(A\) e \(B\) estão próximos um do outro em termos de sua posição no espaço métrico.


4 - A distância de Wasserstein, também conhecida como Métrica de Transporte Ótimo ou Métrica de Earth Mover, é uma medida da diferença entre duas distribuições de probabilidade. Seja \(\mu\) e \(\nu\) duas distribuições de probabilidade definidas sobre um espaço métrico \((X, d)\). A distância de Wasserstein de ordem \(p\), denotada por \(W_p(\mu, \nu)\), é definida como:

\[ W_p(\mu, \nu) = \left( \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu, \nu)} \int_{X \times X} d(x, y)^p \, d\gamma(x, y) \right)^{1/p} \]

Aqui:

  1. \(d(x, y)\) é a distância entre os pontos \(x\) e \(y\) no espaço métrico \(X\).

  2. \(\Gamma(\mu, \nu)\) é o conjunto de todas as medidas de acoplamento \(\gamma\) entre \(\mu\) e \(\nu\), ou seja, o conjunto de distribuições conjuntas \(\gamma(x, y)\) sobre \(X \times X\) cujas marginais são \(\mu\) e \(\nu\). Isso significa que:

\[ \int_X \gamma(x, y) \, dy = \mu(x) \quad \text{e} \quad \int_X \gamma(x, y) \, dx = \nu(y) \]

  1. \(p \geq 1\) é um parâmetro que determina a ordem da métrica de Wasserstein.

A interpretação intuitiva da distância de Wasserstein é a seguinte: ela representa o “custo mínimo” necessário para transformar uma distribuição \(\mu\) na distribuição \(\nu\), onde o “custo” de mover a “massa” de \(x\) para \(y\) é proporcional a \(d(x, y)^p\).

Um caso especial importante é a distância de Wasserstein de ordem 1, \(W_1(\mu, \nu)\), que é frequentemente utilizada em várias aplicações práticas.

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