Counter Factual Model
Contents
5. Counter Factual Model¶
6. Inferência Causal¶
É comum a confusão entre causa e associação e isso pode levar a muitas interpretações errôneas. Supomos que X e Y representam a distribuição de duas variáveis aleatórias, x e y. Ao afirmar “X causa Y” estamos dizendo que mudar o valor de X irá mudar o valor da distribuição Y. Se “X causa Y”, X e Y estão associados, mas o contrário não é necessariamente verdade. Vamos analisar sobre maneiras de abordar causalidade: modelos contrafactuais e modelos gráficos.
6.1. Modelo Contrafactual¶
Usaremos o dataset abaixo no qual temos algumas características de produtos de um e-Commerce juntamente com sua probabilidade de venda.
import pandas as pd
import numpy as np
df = pd.read_csv('data/counter_factual_data_example.csv')
df['Sold'] = np.round(df['Selling_probability'],0)
df.head()
Neste dataset alguns produtos foram vendidos com frete grátis, Free_Shipment = 1 e outros não Free_Shipment = 0. Estamos interessados em saber se oferecer frete grátis aumenta a probabilidade de venda de um produto, ou seja, Free_Shipment causa Sold. Os dados que possímos são dados observados e portanto não podemos voltar no tempo e oferecer frete grátis e observar novamente.
Usaremos Free_Shipment como a variável binária \(X\) e Sold como a variável de saída \(Y\). É comum chamar \(X\) de variável de tratamento e essa abordagem de efeito pós tratamento. Então precisamos diferenciar as afirmações:
“X causa Y”;
“X está associado a Y”.
Para isso vamos utilizar duas variáveis aleatórias chamadas de potenciais resultados. São elas:
\(C_{0}\) - o resultado se \(X=0\);
\(C_{1}\) - o resultado se \(X=1\).
Assim, \(Y = C_{0}\) se \(X = 0\) e \(Y = C_{1}\) se \(X = 1\), ou ainda a chamada relação de consistência,
\(Y = C_{X}\).
Vamos fazer isso no nosso dataset.
df['C0'] = df[df['Free_Shipment']==0]['Sold']
df['C1'] = df[df['Free_Shipment']==1]['Sold']
df[['Free_Shipment','Sold','C0','C1']].head(10)
Os NaN indicam valores não observados. Se \(X=0\) não temos como observar \(C_{1}\), por isso diz-se que \(C_{1}\) é contrafactual já que ele representa qual seria o resultado, contra os fatos, se \(X=1\).
Estas novas variáveis podem ser vistas como variáveis ocultas encontradas em outros modelos.
Agora podemos definir o efeito causal médio ou efeito de tratamento médio. Este é dado por
Podemos interpretar \(\theta\) como o valor esperado dos resultados caso todos os produtos tivessem \(X=1\) menos o valor esperado dos resultados caso todos os produtos tivessem \(X=0\). Há algumas maneiras de medir o efeito causal, por exemplo, se \(C_{1}\) e \(C_{0}\) são binários usualmente define-se a razão causal provável
e o risco causal relativo
# efeito causal médio
ecm = df['C1'].sum() / df.shape[0] - df['C0'].sum() / df.shape[0]
# razao causal provável
p_c1_1 = df['C1'].sum() / df.shape[0]
p_c1_0 = 1 - p_c1_1
p_c0_1 = df['C0'].sum() / df.shape[0]
p_c0_0 = 1 - p_c0_1
rcp = (p_c1_1/p_c1_0)/(p_c0_1/p_c0_0)
# risco causal relativo
rcr = p_c1_1 / p_c0_1
print("ECM: {:.3f}| RCP: {:.3f}| RCR: {:.3f}".format(ecm,rcp,rcr))
Já a associação é definida como
ou seja, o valor esperado de \(Y\) dado que \(X=1\) menos o valor esperado de \(Y\) dado que \(X=0\). Vejamos a associação para nossos dados:
association = df[df['Free_Shipment']==1]['Sold'].mean() - df[df['Free_Shipment']==0]['Sold'].mean()
print("Association: {:.3f}".format(association))
Verificamos uma associação positiva, ou seja, oferecer frete \(X=1\) grátis aumenta as chances de venda, mas a associação não é igual ao efeito causal médio, como geralmente é o caso.
O que fazemos em machine learning usando aprendizado supervisionado está voltado à associação. Coletamos observações independentes umas das outras e encontramos uma função que generaliza as distribuições das features para encontrar \(p(Y\|X_{1},...,X_{n})\). Para entender a causalidade precisamos encontrar algo diferente, \(p(Y\|X_{1}=x,...,X_{n})\), a distribuição de \(Y\) dado que \(X_{1}\) tem valor igual a \(x\) para todas as observações.