Mapas, Curvas, superfícies e Variedades
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2. Mapas, Curvas, superfícies e Variedades¶
2.1. Mapas¶
1 - Seja \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dado por \(f(x) = \sin{x}\) ou \(f: x \Rightarrow \sin{x}\). Determine o domínio, alcance, imagem e imagem inversa de \(0\).
Solução:
O domínio e a imagem são \(\mathbb{R}\), já a imagem é \(f(\mathbb{R}) = \left[-1,1 \right]\). Para a imagem inversa de \(0\) vemos que existem diversos valores de \(x\) que produzem \(\sin{x}=0\), todos esses valores são múltiplos inteiros de \(\pi\). Então escrevemos \(f^{-1}(0) = \lbrace n \pi \vert n \in \mathbb{Z} \rbrace\).
2 - Classifique os mapas a seguir como injetivos, sobrejetivos ou bijetivo:
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definido como \(f: x \mapsto ax\), onde \(a \in \mathbb{R} - \lbrace 0\rbrace\).
Solução:
como \(a \ne 0\), \(ax\) é sempre um múltiplo de \(x\). Isso é definido para todo \(Dom = \mathbb{R}\) e \(Img = \mathbb{R}\). Atende às condições para ser injetivo e sobrejetivo. é portanto, bijetivo.
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definido como \(f: x \mapsto x^{2}\).
Solução:
Não é injetivo pois, por exemplo: \(x = 1\) e \(x = -1\) são ambos mapeados para \(f(x) = 1\). Não é sobrejetivo pois não há pelo menos um \(x\) que seja mapeado para \(f(x) < 0\).
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definido como \(f: x \mapsto e^{x}\).
Solução:
É injetivo, pois para cada \(x\) há apenas um \(f(x)\). Não é sobrejetivo pois não há pelo menos um \(x\) que seja mapeado para \(f(x) < 0\).
Seja \(M\) um elemento do grupo linear geral \(GL(n,\mathbb{R})\) cujas representação matricial é dada por matrizes \(n \times n\) com determinante não nulo, ou seja, \(M: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), \(x \mapsto Mx\).
Solução:
Com a garantia do determinante não nulo, cada \(x\) á mapeado para um \(Mx\) único e existe a função inversa \(M^{-1}x \mapsto x\) que também é injetiva. Esse mapa é portanto, bijetivo.
3 - Seja o mapa \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definido como \(f: x \mapsto \sin{x}\). Defina restrições no domínio e no alcance para que \(f\) seja bijetivo.
Solução:
Restringindo o domínio ao subconjunto \(\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \subset \mathbb{R}\) garantimos que o mapa injetivo e restringindo o alcance para o subconjunto \(\left[-1,1 \right]\) garantimos que para todo \(f(x)\) exista pelo menos um \(x\), sendo assim sobrejetivo. Com as duas restrições \(f: \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \rightarrow \left[-1,1 \right]\) o mapa \(f(x) = \sin{x}\) é bijetivo.
4 - Seja \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definido por \(f: x \mapsto x^{2}\) e \(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por \(g: x \mapsto e^{x}\). Quais são os mapas \(g \circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) e \(f \circ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)?
Solução:
\(g \circ f = e^{f(x)} = e^{x^{2}}\), enquanto \(f \circ g = \left(g(x) \right)^{2} = \left(e^{x}\right)^{2} = e^{2x}\).
5 - O grupo Euclidiano n-dimensional \(E^{n}\) é feito de uma translação n-dimensional \(a: x \rightarrow x + a\), onde \(x,a \in \mathbb{R}^{n}\), e uma rotation, \(O(n)\), \(R: x \rightarrow Rx\), onde \(R \in O(n)\). Um elemento geral \((R,a)\) de \(E^{n}\) atua sobre \(x\) pelo mapa \((R,a): x \mapsto Rx + a\). O produto é definido por \((R_{2},a_{2}) \times (R_{1},a_{1}): x \mapsto R_{2}\left( R_{1}x + a_{1}\right) + a_{2}\), que é \((R_{2},a_{2}) \circ (R_{1},a_{1}) = \left( R_{2}R_{1}, R_{2}a_{1} + a_{2} \right)\). Mostre que os mapas \(a, R\) e \((R,a)\) são bijeções e encontre seus mapas inversos.
Solução:
o mapa \(a: x \rightarrow x + a\) é a apenas a identidade de \(\mathbb{R}^{n}\) deslocada de \(a\). É portanto bijetiva e seu mapa inverso é \(a^{-1}: x \rightarrow x-a\).
O mapa \(R: x \rightarrow Rx\) é injetivo, pois para há apenas um \(x\) que é mapeado para \(Rx\). É também sobrejetivo, pois todos os pontos do \(\mathbb{R}^{n}\) podem ser obtidos através da transformação, por consequência é bijetivo. O mapa inverso é dado por \(R^{-1}:x \rightarrow R^{-1}x\), onde \(R^{-1}\) é a matriz inversa de \(R\).
O mapa \((R,a): x \mapsto Rx + a\) é simplesmente a atuação conjunta dos mapas \(R\) e \(a\) sobre \(x\). Essa atuação conserva as propriedades de ambos mapas, sendo assim uma bijeção. Seu mapa inverso é dado por \((R,a)^{-1}: x \rightarrow R^{-1}x - a\).
6 - Seja o mapa \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}\) definido por \(f: x \rightarrow x^{2}\). Mostre que se dotarmos \(\mathbb{R}\) com a propriedade da soma, ou seja \(ab = a + b\ \forall a,b \in \mathbb{R}\), o mapa \(f\) não é um homomorfismo. Mostre também que se ao invés da soma dotarmos \(\mathbb{R}\) com a propriedade da multiplicação, o mapa \(f\) é então um homomorfismo.
Solução:
Para o primeiro caso devemos verificar se a propriedade da soma \(ab = a+b\) é mantida pelo mapa, ou seja \(f(ab) = f(a) + f(b)\). Podemos ver que não é um homomorfismo, pois aplicando o mapa \(f\) na soma \(a+b\) temos \(f(a+b) = (a+b)^{2} \ne a^{2} + b^{2} = f(a) + f(b)\) a propriedade da soma não é preservada.
Já para o caso da multiplicação \(ab = a \cdot b\), temos \(f(a \cdot b) = (a \cdot b)^{2} = a^{2} \cdot b^{2} = f(a)\cdot f(b)\), preservando a multiplicação e sendo assim um homomorfismo. Entretanto \(f\) não é um isomorfismo, já que não é bijetivo.
2.2. Variedades diferenciaveis¶
1 - Mostre que a função \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(f(s) = s^{3}\), define uma estrutura \(C^{\infty}\) sobre \(\mathbb{R}\) diferente da usual (aquela do atlas \(\lbrace (\mathbb{R}, id_{\mathbb{R}}) \rbrace\)).
Solução:
No atlas usual \(\lbrace (\mathbb{R}, id_{\mathbb{R}}) \rbrace\), o mapa \(f: \mathbb{R}_{f} \rightarrow \mathbb{R}_{id}\) é um difeomorfismo, então devemos mostrar que o mapa proposto tem uma estrutura diferente.
O primeiro ponto é que existe um mapa inverso \(f^{-1}(s) = \sqrt[3]{s}\), então \(f\) é um homeomorfismo. Assim a estrutura definida por \(\lbrace (\mathbb{R},f) \rbrace\) é um atlas para \(\mathbb{R}\). Essa estrutura difere do atlas usual no sentido de que não é um difeomorfismo, pois \(f^{-1}\) não é diferenciável em \(s=0\).
2 - Sejam \(U\) e \(V\) dois subconjuntos abertos do círculo unitário \(S^{1}\) de \(\mathbb{R}^{2}\) dados por:
Mostre que \(\mathcal{A} = \lbrace (U,f), (V,g) \rbrace\), onde
é um atlas sobre \(S^{1}\).
Solução:
3 - Defina um atlas na superfície cilíndrica
onde \(h,r \in \mathbb{R}_{\ge 0}\).
Solução:
4 - Prove que se \(h: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) é um homemomorfismo, então o atlas \(\lbrace (\mathbb{R}^{n}, h) \rbrace\) define a estrutura diferencial usual sobre \(\mathbb{R}^{n}\) ((aquela definida pelo atlas \(\lbrace (\mathbb{R}^{n}, id_{\mathbb{R}^{n}}) \rbrace\)) se e somente se \(h\) e \(h^{-1}\) são diferenciaveis.
Solução:
5 - Considere o mapa: \(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\ \ \ (x,y) \Rightarrow x^{3} + xy + y^{3} + 1\)
Calcule o mapa \(f_{*}: T_{p}\mathbb{R}^{2} \rightarrow T_{p(p)}\mathbb{R}\).
Para quais dos pontos \((0,0),\ (1/3,1/3),\ (-1/3,-1/3)\), é \(f_{*}\) é injetiva or sobrejetiva?