Definições
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Definições¶
Mapas¶
Mapa: um mapa \(\phi\) é uma regra que atribui para cada \(y \in Y\) um \(x \in X\), denotado por \(\phi: X \rightarrow Y\). O conjunto \(Y\) é chamado de alcance (range) do mapa, o conjunto \(X\) é chamado de domínio de \(\phi\) e a imagem de \(\phi\) é o conjunto \(\phi(x) = \lbrace y \in Y | \phi(x) = y,\ \forall x \in X \rbrace\).
Um-a-um ou injetivo: um mapa é chamado de um-a-um (1-1) se para cada \(y \in Y\) existe somente um \(x \in X\) tal que para \(x, x' \in X, x \ne x' \Longrightarrow f(x) \ne f(x')\).
Sobrejetivo: um mapa é chamado de sobrejetivo (onto) se para cada \(y \in Y\) existe pelo menos um \(x \in X\). É comum dizer apenas ”\(\phi\) é um mapa de \(X\) sobre \(Y\).”
Bijetivo: um mapa é dito bijetivo ou que é uma bijeção se é tanto 1-1 quanto sobrejetivo.
Correspondência 1-1: se existe uma bijeção entre dois conjuntos é dito que estes possuem uma correnpondência 1-1.
Mapa constante: um mapa é chamado de constante se existe um \(y_{0} \in Y\) fixo para um \(x \in X\) arbitrário, \(\phi(x) = y_{0}\).
Restrição: dado um subconjunto \(A \subset X\), uma restrição de um mapa \(\phi: X \rightarrow Y\) é \(\phi|_{A}: A \rightarrow Y\) .
Mapa composto: dados os mapas \(\phi: X \rightarrow Y\) e \(\psi: Y \rightarrow Z\), o mapa composto é \(\psi \circ \phi : X \rightarrow Z\), também denotado como \(\psi(\phi(x)) = z\).
Diagrama comutativo: se os mapas \(\lambda \circ \phi : X \rightarrow E\) e \(\mu \circ \psi : X \rightarrow E\) são equivalentes se existe um mapa \(\rho : X \rightarrow E\), então dizemos que o diagrama representando estes mapeamentos comutam.
Mapa de inclusão: dado um subconjunto \(A \subset X\), o mapa \(i : A \rightarrow X\) definido como \(i(a) = a\ \forall a \in A\) é chamado de mapa de inclusão, também denotado como \(i : A \hookrightarrow X\).
Mapa identidade: dado o mapa de inclusão, se \(A = X\) o mapa é chamado de mapa identidade (ou mapa de identidade), \(id_{X} : X \rightarrow X\).
Mapa inverso: se um mapa \(\phi : X \rightarrow Y\) é bijetivo existe um mapa inverso, \(\phi^{-1} : Y \rightarrow X\), tal que \(\phi^{-1} : \phi(x) \rightarrow x\) é também bijetivo. Como consequência \(\phi^{-1} \circ \phi = id_{X}\) e \(\phi \circ \phi^{-1} = id_{Y}\).
Mapa n-ário: é o mapa \(\phi : X^{n} \rightarrow Y\), definido como \(\phi : (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) \rightarrow y\).
Mapa de projeção: é um mapa n-ário \(pr_{i} : X_{1} \times X_{2} \times ... \times X_{n} \rightarrow X_{i}\) , definido como \(pr_{i} : (x_{1}, ..., x_{n}) \rightarrow x_{i}\).
Mapa característico: dado um subconjunto \(A \subset X\), um mapa \(\chi_{A} : X \rightarrow \{0, 1\}\) é dito característico de \(A\), definido como \(\chi_{A} (x) = 0\) se \(x \notin A\) e \(\chi_{A} (x) = 1\) se \(x \in A\).
Espaços Vetoriais¶
Anel: wikipedia
Corpo (Field): wikipedia
Espaço vetorial ou espaço linear: um espaço vetorial \(V\) sobre o campo (ou corpo) \(\mathbb{K}\) é um conjunto que possui definidas as operações de adição e multiplicação por um elemento de \(\mathbb{K}\).
Escalar: é um elemento de um campo \(\mathbb{K}\), usualmente os campos dos \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) são os mais utilizados na física.
Vetores: são elementos de um campo vetorial \(V\) satisfazendo as seguintes condições:
\(u + v = v + u\);
\((u + v) + w = u + (v + w)\);
Existe um vetor nulo \(0\) tal que \(v + 0 = v\);
Para todo \(u\) existe a inversa \(−u\) tal que \(u + (−u) = −u + u = 0\);
\(c(u + v) = cu + cv\);
\((c + d)u = cu + du\);
(\(cd)u = c(du)\);
\(1u = u\);
onde \(u, v, w \in V\), \(c, d \in K\) e \(1\) é o elemento unitário de \(\mathbb{K}\).
Dependência linear: para \(x_{i} \in \mathbb{K}\), \(v_{i} \in V\) e \(x_{i} v_{i} = 0\). Se existe uma solução não-trivial, \(x_{i} \ne 0\), então o conjunto de todos \(\lbrace v_{i} \rbrace\) são linearmente independentes. Se existe somente uma solução trivial, \(x_{i} = 0\), então o conjunto de todos \(\lbrace v_{i} \rbrace\) são linearmente independentes.
Base: um conjunto de vetores linearmente independentes \(\lbrace e_{i} \rbrace\) é dito ser uma base de um espeço vetorial \(V\) se qualquer \(v \in V\) pode ser escrito como uma combinação linear de \(\lbrace e_{i} \rbrace\), \(v = v_{i} e_{i}\).
Componentes: dado \(v \in V\) e seja \(\lbrace e_{i} \rbrace\) a base de \(V\). Os elementos \(v_{i} \in v\) são ditos ser os componentes de \(v\) com respeito a base \(\lbrace e_{i} \rbrace\).
Dimensão: a dimensão de um espaço vetorial \(dimV\) é o número de elementos que compõem a base do espaço vetorial \(V\), usualmente denotado como \(V = V(n, \mathbb{K})\).
Mapa linear: dados dois espaços vetoriais \(V\) e \(W\) . Um mapa \(\phi: V \rightarrow W\) é dito linear se satisfaz:
Isomorfismo: um mapa \(\phi: V \rightarrow W\) é chamado de isomorfismo se admite inversa.
Endomorfismo: um mapa \(\phi: V \rightarrow V\) é chamado de endomorfismo.
Automorfismo: um isomorfismo de um espaço vetorial sobre si mesmo é chamado de automorfismo, ou seja, é um endomorfismo que admite inversa.
Imagem: o subconjunto \(\phi(V) \subset W\) é dito ser a imagem de \(\phi\), \(Im \phi\).
Kernel: o kernel do mapa \(\phi : V → W\), denotado como \(ker(\phi)\), é o conjunto \(\lbrace v \in V \vert \phi(v) = 0 \rbrace\), onde \(0\) é o elemento neutro de \(W\).
Espaço vetorial dual: seja \(\phi : V \rightarrow \mathbb{K}\), onde \(V(n, \mathbb{K})\) tem uma base \(\lbrace e_{i} \rbrace\). Temos que para qualquer \(v = v^{i} e_{i}\) e \(\phi(v^{i} ) = v^{i} \phi(e_{i} )\) devido a linearidade do mapa. O espaço vetorial \(\phi(v)\) é chamado de espaço vetorial dual a \(V (n, \mathbb{K})\), denotado como \(V^{∗} = V^{∗} (n, \mathbb{K})\).
Base dual: é a base que gera \(V^{∗}\) , denotada como \(\lbrace e^{∗i} \rbrace\). É uma função linear de \(\lbrace e_{i} \rbrace\), \(e^{∗i} (e_{j} ) = \delta_{j}^{i}\).
Vetor dual: é o componente de \(V^{∗}\), \(\phi = \phi_{i} e^{∗i}\).
Produto interno 1: a ação de um vetor dual sobre um vetor é chamada de produto interno, \(\phi(v) = \phi_{i} e^{∗i} v^{j} e_{j} = \phi_{i} v^{j} (e^{∗i} e_{j}) = \phi_{i} v^{i}\). Este também é denotado como \(<,> : V^{∗} \times V \rightarrow \mathbb{K}\).
Pullback de um mapa: sejam \(\phi\) e \(g\) os mapas tais que \(\phi : V \rightarrow W\) e \(g : W \rightarrow \mathbb{K}\), onde \(g \in W^{∗}\). Então o mapa de composição \(g \circ \phi = h\), onde \(h \in V^{∗}\), ou \(h(v) = g(\phi(v))\), onde \(v \in V\). Disso temos \(\phi^{∗} : W^{∗} \rightarrow V^{∗}\) definido por \(\phi^{∗} : g \mapsto h = \phi^{∗} (g)\). O mapa \(h\) é chamado de pullback de \(g\) por \(\phi^{∗}\).
Álgebras¶
Álgebra: consiste de um espaço vetorial \(\mathcal{A}\) sobre um campo (ou corpo) \(\mathbb{K}\) junto com uma lei de composição ou produto de vetores, \(\mathcal{A} \times \mathcal{A} → \mathcal{A}\), denotado por
que satisfaz um par de leis distributivas:
para todos os escalares \(a, b \in \mathbb{K}\) e vetores, \(A, B\) e \(C\). Sendo \(O\) o vetor zero e \(0\) o zero escalar tem-se
Derivação em uma álgebra: uma derivação em uma álgebra \(\mathcal{A}\) é um mapa \(\theta : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{A}\) satisfazendo
Homomorfismo de uma álgebra: sejam \(\mathcal{A}\) e \(\mathcal{B}\) qualquer par de álgebras. Um mapa linear \(\phi : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}\) é chamado de homomorfismo de álgebra se preserva os produtos,
onde \(A,B \in \mathcal{A}\) e \(\phi(A), \phi(B) \in \mathcal{B}\).
Derivação de um homomorfismo: seja \(\phi : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}\) um hohomorfismo de álgebras. Então uma derivação-\(\phi\) ou simplesmente \(\phi_{∗}\) é um mapa linear \(\theta : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}\) que satisfaz \(\theta(AB) = \theta(A)\phi(B) + \phi(A)\theta(B)\).
Álgebra graduada: uma álgebra graduada \(\mathcal{A}\) sobre \(\mathbb{R}\) é um espaço vetorial graduado \(A = \sum_{p \ge 0}A^{p}\) (soma direta), junto com uma estrutura algébrica, tal que \(A^{p} \cdot A^{q} \subset A^{p+q}\).
Álgebra associativa: se \(A(BC) = (AB)C\) para todos \(A, B, C \in \mathcal{A}\) a álgebra é dita associativa.
Álgebra comutativa: se \(AB = BA\) para todos \(A, B \in \mathcal{A}\) a álgebra é dita comutativa.
Álgebra anti-comutativa: se \(u \in A^{p}\), \(v \in A^{q}\) e \(uv = (−1)^{pq} vu\), então a álgebra \(\mathcal{A}\) é dita anti-comutativa. Se a existe uma identidade e \(dim A^{0} = 1\), então \(\mathcal{A}\) é chamada de conexa.
Álgebra dos operadores lineares: o espaço vetorial \(L(V, V)\) dos operadores lineares sobre um espaço vetorial \(V\) forma uma álgebra associativa na qual o produto \(AB\) é definido de maneira usual \((AB)u = A(Bu)\). Entretanto esta álgebra não é necessariamente comutativa.
Álgebra das matrizes n × n reais ou complexas: o conjunto de todas as matrizes \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\), onde o campo pode ser o dos reais ou dos complexos, forma uma álgebra com respeito a multiplicação matricial. Pode-se pensa nesta álgebra como \(L(\mathbb{K}_{n}, \mathbb{K}_{n})\) onde \(\mathbb{K}_{n}\) é o espaço vetorial dos vetores coluna \(n \times 1\).
Constante de estrutura: se \(\mathcal{A}\) é uma álgebra de dimensão finita e \(E_{1}, E_{2}, ..., E{n}\) é qualquer base, então seja \(C_{ij}^{k}\) um conjunto de escalares definido por
Os escalares \(C_{ij}^{k} \in \mathbb{K}\), unicamente definidos como os componentes do vetor \(E_{i} E_{j}\) com respeito a base dada são chamados de constantes de estrutura da álgebra com respeito a base {\(E_{i}\)}.
Produto tensorial canônico: se \(\mathcal{A}\) e \(\mathcal{B}\) são duas álgebras graduadas, então \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\) pode ser uma álgebra graduada da forma \((u_{1} \otimes v_{1} )(u_{2} \otimes v_{2} ) = u_{1} u_{2} \otimes v_{1} v_{2}\) para \(u_{1} , u_{2} \in \mathcal{A}\) e \(v_{1}, v_{2} \in \mathcal{B}\). Esta álgebra é chamada de produto tensorial canônico.
Produto tensorial antissimétrico: para as mesmas definições anteriores outra álgebra possível é \((u_{1} \otimes v_{1} )(u_{2} \otimes v_{2} ) = (−1)^{q_{1} q_{2}} u_{1} u_{2} \otimes v_{1} v_{2}\), chamada produto tensorial antissimétrico.
Espaços Topológicos¶
Espaço topológico: dado um conjunto \(X\) e uma família \(\mathcal{T}=(U_{i} | i \in I)\) de subconjuntos de \(X\), o par \((X, \mathcal{T})\) é um espaço topológico se \(\mathcal{T}\) satisfizer as seguintes condições:
\(\emptyset,X \in \mathcal{T}\);
uma união arbitrária de subconjuntos de \(X\) está em \(\mathcal{T}\);
uma interseção finita de subconjuntos de \(X\) está em \(\mathcal{T}\).
Topologia discreta e indiscreta: se \(X\) é um conjunto e \(\mathcal{T}\) é a família de todos os subconjuntos de \(X\), \(\mathcal{T}\) é chamada de topologia discreta. Se \(\mathcal{T}=(\emptyset,X)\), é chamada de topologia indiscreta.
Topologia padrão: se \(X\) é a reta real, \(\mathbb{R}\), todos os intervalos abertos \((a,b)\), onde \(a,b \in \mathbb{R}\), e suas uniões definem uma topologia chamada de topologia padrão ou usual da reta real.
Métrica: uma métrica é um mapa \(d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}\) tal que
\(d(x,y) = d(y,x)\);
\(d(x,y) \ge 0\), não se aplica a uma superfície Riemanniana;
\(d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)\),
para todos \(x,y,z \in \mathbb{R}\).
Topologia métrica: se um conjunto \(X\) é dotado de uma métrica, \(X\) é um espaço topológico cujos conjuntos abertos são “discos abertos”, \(U_{\epsilon} = \lbrace y \in X | d(x,y) < \epsilon \rbrace\) e todas as suas uniões. \(\mathcal{T}\) é chamada de topologia métrica e \((X, \mathcal{T})\) é um espaço métrico.
Topologia relativa: dado um espaço topológico \((X, \mathcal{T})\) e seja \(A\) qualquer subconjunto de \(X\). Então, \(\mathcal{T} = \lbrace U_{i} \rbrace\) induz uma topologia relativa em \(A\) por \(\mathcal{T'} = \lbrace U_{i} \cap A | U_{i} \in \mathcal{T} \rbrace\).
Aplicação contínua ou mapa contínuo: sejam \(X\) e \(Y\) dois espaços topológicos. Uma função \(\phi: X \rightarrow Y\) é contínua se \(\phi^{-1}(U) \subset X\) para \(U \subset X\).
Vizinhança: dado o espaço topológico \((X, \mathcal{T})\), \(N\) é uma vizinhança de \(x \in X\) se \(N\) for um subconjunto de \(X\) e \(N\) contiver pelo menos um conjunto aberto tal que \(x \in U_{i}\). Se \(N\) é aberto em \(\mathcal{T}\), é uma vizinhança aberta.
Espaço de Hausdorff: dado o espaço topológico \((X, \mathcal{T})\), se para \(x, x' \in X\) \(\exists\) uma vizinhança \(U_{x}\) e \(U_{x'}\) tal que \(U_{x} \cap U_{x'} = \emptyset\), \((X, \mathcal{T})\) é um espaço de Hausdorff. Qualquer espaço métrico é de Hausdorff.
Conjunto fechado: dado o espaço topológico \((X, \mathcal{T})\), um subconjunto \(A\) de \(X\) é fechado se seu complemento em \(X\) for um conjunto aberto; \(X-A \in \mathcal{T}\).
Fecho: é o menor conjunto fechado que contém \(A\), denotado como \(\overline{A}\).
Interior: é o maior subconjunto aberto de \(A\), denotado como \(A^{\circ}\).
Fronteira: a fronteira \(b(A)\) de \(A\) é o complemento de \(A^{\circ}\) em \(A\): \(b(A) = A - A^{\circ}\). Seja \(A\) um conjunto aberto, então \(A \cap b(A) = \emptyset\).
Cobertura: dado o espaço topológico \((X, \mathcal{T})\), uma família de subconjuntos de \(X\), \(\lbrace A_{i} \rbrace\) é dita cobrir \(X\) se \(\underset{i \in I}{\bigcup} A_{i} = X\). Se todos os \(A_{i}\) são abertos em \(\mathcal{T}\), então \(\lbrace A_{i} \rbrace\) é uma cobertura aberta de \(X\).
Compacidade: considere um conjunto \(X\) e todas as coberturas possíveis de \(X\). \(X\) é compacto se, para toda cobertura aberta \(\lbrace U_{i} | i \in I \rbrace\), \(\exists\) um subconjunto finito \(J\) de \(I\) tal que \(\lbrace U_{j} | j \in J \rbrace\) também cobre \(X\). Um subconjunto de \(\mathbb{R}\) é compacto se e somente se for fechado e limitado.
Conexo: dado o espaço topológico \((X, \mathcal{T})\) e dois subconjuntos de \(X\), \(X_{1}, X_{2} \subset X\) tal que \(X_{1} \cap X_{2} = \emptyset\). Se \(X\) não pode ser escrito como \(X = X_{1} \cup X_{2}\), então ele é conexo, caso contrário, é desconexo.
Conexo por arcos: um espaço topológico é conexo por arcos se, para quaisquer pontos, \(\exists\) uma aplicação contínua \(\phi: [0,1] \rightarrow X\) tal que \(\phi(0) = X\) e \(\phi(1) = Y\).
Simplesmente conexo: um laço em um espaço topológico \(X\) é uma aplicação contínua \(\phi: [0,1] \rightarrow X\) tal que \(\phi(0) = \phi(1)\). Se qualquer laço em \(X\) pode ser continuamente encolhido até um ponto, \(X\) é simplesmente conexo.
Homeomorfismo 1: sejam \(X_{1}\) e \(X_{2}\) dois espaços topológicos. Um mapa \(\phi: X_{1} \rightarrow X_{2}\) é um homeomorfismo se for contínuo e tiver um inverso \(\phi^{-1}: X_{2} \rightarrow X_{1}\), que também é contínuo. Se \(\exists\) um homeomorfismo entre \(X_{1}\) e \(X_{2}\), diz-se que \(X_{1}\) é homeomorfo a \(X_{2}\).
Homeomorfismo 2: \(X_{1}\) é homeomorfo a \(X_{2}\) se \(\exists\) os mapas \(\phi: X_{1} \rightarrow X_{2}\) e \(\psi: X_{2} \rightarrow X_{1}\) tais que \(\phi \circ \psi = id_{X_{2}}\) e \(\psi \circ \phi = id_{X_{1}}\).
Invariantes topológicos: são quantidades que são conservadas sob homeomorfismo. Exemplos incluem o número de componentes conexas do espaço, uma estrutura algébrica como um grupo ou anel construído a partir do espaço, ou propriedades como conexidade, compacidade ou a propriedade de Hausdorff. Se um conjunto completo de invariantes topológicos for conhecido, uma classe de equivalência pode ser especificada. Se dois espaços topológicos tiverem invariantes topológicos diferentes, eles não podem ser homeomorfos entre si.
Tipo de homotopia: é uma classe de equivalência mais grosseira do que o homeomorfismo, as funções contínuas \(\phi\) e \(\psi\) não precisam ter inversos.
Variedades diferenciaveis¶
Let Φ : M → N be a C ∞ map. A point p ∈ M is said to be a critical point of Φ if Φ ∗ : T p M → T Φ(p) N is not surjective. A point q ∈ N is said to be a critical value of Φ if the set Φ −1 (q) contains a critical point of Φ. Let f ∈ C ∞ M. A point p ∈ M is called a critical point of f if f ∗p = 0. If we choose a coordinate system (U, x 1 , … , x n ) around p ∈ M, this means that∂f ∂f (p) = · · · = n (p) = 0. 1 ∂x ∂x The real number f (p) is then called a critical value of f . A critical point is called non-degenerate if the matrix ∂ 2 f (p) ∂x i ∂x j is non-singular. Non-degeneracy does not depend on the choice of coordinate sys- tem.